VEKTÖRLER VE VEKTÖR UZAYLARI

   Bilinen iki açısal düzlem, noktalar U = (u ,u ) numara çiftleri olarak düzenlenerek gösterilmiştir. U’ya dikkatlice bakılacak olursa (u ,u ) koordinatlarıyla bir nokta , sabit orijin  0 = (0,0) ‘la bağlantılı veya bir vektör gibidir. i.e., iki sabit koordinat yönleri (fig. 1) içerisinde u  ve u  miktarlarıyla (0,0) orijininden bir çeviridir. Bu iki sanı değiştirilebilir şekilde kullanılmıştır.
Biz bazen U = (   ) şeklinde yazmalıyız.
(fig.1)

Şimdi de iki açısal öklidan uzay E ‘yi adlandıralım ve E  içerisindeki vektörlerin önemli özelliklerini not edelim.
a.vektörlerin çarpılması. (fig. 2) Gösterilen  ve U vektörleri çarpılarak bir vektör oluşturulur. Bu vektör  ve U vektörlerinin skaler çarpımıdır.
 U = (u , u ) şeklinde yazılır. Özellikleri vardır:
(a)   (U) = ()U      (Birleşme özelliği)
(b)   (U + V) = U + V
( + )U = U + U      (Dağılma özelliği)
(c)   1U = U
(d)       0U = 0 = (0,0)

b.vektörlerin toplanması (fig. 3) E  içerisindeki vektörlerden her çifti U = (u ,u ) ve  V = (v ,v ) tek bir vektör olarak isimlendirilir ve bu vektör U ve V ‘nin miktarlarının toplamı kadardır.U + V = (u +v  , u +v ) şeklinde yaılır ve şu özellikleri vardır :
 
(a)   U + V = V + U         (Değişme özelliği)
(b)   (U + V) + W = U + (V + W)      (Birleşme özelliği)
E  içinde bulunan tek vektör olan =, orijin olarak adlandırılır ve şöyle gösterilir: (fig. 3)
(c)   U + 0 = U tüm E  içerisindeki U’lar için.

E  içerisindeki her U tek bir vektöre karşılık gelir.U’nun tersi –U şeklinde gösterilerek adlandırılır ve şöyle gösterilir:
(d)   U + (-U) = 0
 
c. vektörlerin iç sonuçları . E  içerisindeki herbir vektör çifti olan U ve V, gerçek bir numaraya uygun gelir.U ve V vektörlerinin iç sonuçları şeklinde adlandırılır.
U.V = u v  + u v  şeklinde yazılır. Özellikleri :
(a)   U.V = V.U            (Değişme özelliği)
(b)       (U + V).W = (U.W) + (V.W)    
E  içerisindeki tüm vektörler U, V, W ve tüm skaler  ve  için
(c)       U.U  0 and U.U = 0 eğer sadece U = 0 ise.
Eğer U.V = 0 ise U ve V vektörleri orthogonol olarak adlandırılır.
   
d. vektörlerin uzunlukları (fig. 4). E  içerisindeki her bir U vektörü gerçek bir numaraya uygun gelir ve U’nun uzunluğu şeklinde adlandırılır. ║U║= + √u ² + u ² şeklinde yazılır. Özellikleri :

(a)      ║U║  0   and    ║U║ = 0     eğer sadece U = 0 ise

(b)   ║αU║ = |α| . ║U║

Uzunluk üçgen eşitsizliklerini gösterir.

(c)   ║U + V║  ║U║ + ║V ║  E  içerisindeki tüm U ve V için.

(d)   ║U║ = +U . U

║U║ genelde V vektörünün kuralı şeklinde adlandırılır.